Question

17．已知不等式x²-bx+c＞0的解集為{x|x＞1或x＜-1}
（1）求b和c；
（2）求解不等式ax²-（b+1-ca）x-c≤0．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式與對應的一元二次方程的關系，結合根與系數的關系，進行解答即可，
（2）需要分類討論，即可得到不等式的解集．

解答 解：（1）因為不等式x²-bx+c＞0的解集為{x|x＞1或x＜-1}，
∴-1和1是方程x²-bx+c=0的兩個根，
∴-1+1=b，1×（-1）=c，
解得：b=0，c=-1，
（2）由（1）可得不等式ax²-（b+1-ca）x-c≤0為ax²+（1+a）x+1≤0，即為（ax+1）（x+1）≤0
當a=0時，x≤-1，即不等式解集為{x|x≤-1}，
當a＞0時，即不等式化為（x+$\frac{1}{a}$）（x+1）≤0，
當0＜a＜1時，即$\frac{1}{a}$＞1，解得-$\frac{1}{a}$≤x≤-1，即不等式的解集為{x|-$\frac{1}{a}$≤x≤-1}，
當a=1是，不等式的解為x=-1，即不等式的解集為{x|x=-1}，
當a＞1時，即$\frac{1}{a}$＜1，解得-1≤x≤-$\frac{1}{a}$，即不等式的解集為{x|-1≤x≤-$\frac{1}{a}$}，
當a＜0時，即不等式化為（x+$\frac{1}{a}$）（x+1）≥0，
解得x≥-$\frac{1}{a}$或x≤-1，即不等式的解集為{x|x≥-$\frac{1}{a}$或x≤-1}．

點評 本題考查二次不等式的解法，考查二次方程和二次不等式的關系，考查韋達定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．