Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax，（a∈R），
（1）若對(duì)任意m∈R直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值　 范圍；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

解：（1）因?yàn)橹本�x+y+m=0斜率為-1，所以?m∈R直線x+y+m=0都不是y=f（x）的切線等價(jià)于f'（x）=3x²-3a=-1在R上無實(shí)數(shù)解，所以3a-1＜0，所以a的取值范圍為…（4分）
（2）∵f'（x）=3x²-3a，且f（x）為奇函數(shù)，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，又g（x）=|f（x）|為偶函數(shù)，
∴g（x）=|f（x）|在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上遞增，
∴g（x）的最大值F（a）=g（±1）=|f（±1）|=|1-3a|=1-3a…（6分）
②若a＞0，則f'（x）=3x²-3a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且f（x）分別在和處取得最大值和最小值．
因g（x）=|f（x）|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值
1°若a≥1時(shí)，，函數(shù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時(shí)F（a）=g（1）=|1-3a|=3a-1…（8分）
2°若時(shí)，，此時(shí)對(duì)?x∈[0，1]都有，
∴…（10分）
3°若時(shí)，，函數(shù)g（x）在x=1處取得最大值，
∴F（a）=g（1）=|f（1）|=|1-3a|=1-3a…（12分）
綜上所述…（14分）
分析：（1）因?yàn)橹本�x+y+m=0斜率為-1，所以?m∈R直線x+y+m=0都不是y=f（x）的切線等價(jià)于f'（x）=3x²-3a=-1在R上無實(shí)數(shù)解，由此可求a的取值范圍；
（2）f'（x）=3x²-3a，且f（x）為奇函數(shù)，分類討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，可得g（x）=|f（x）|在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上遞增；②若a＞0，f（x）分別在和處取得最大值和最小值，因g（x）=|f（x）|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值，由此可得分段函數(shù)g（x）的最大值F（a）的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．