已知函數(shù)f(x)=x3-3ax,(a∈R),
(1)若對(duì)任意m∈R直線x+y+m=0都不是曲線y=f(x)的切線,求a的取值  范圍;
(2)設(shè)g(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.

解:(1)因?yàn)橹本x+y+m=0斜率為-1,所以?m∈R直線x+y+m=0都不是y=f(x)的切線等價(jià)于f'(x)=3x2-3a=-1在R上無實(shí)數(shù)解,所以3a-1<0,所以a的取值范圍為…(4分)
(2)∵f'(x)=3x2-3a,且f(x)為奇函數(shù),
①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0恒成立,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,又g(x)=|f(x)|為偶函數(shù),
∴g(x)=|f(x)|在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上遞增,
∴g(x)的最大值F(a)=g(±1)=|f(±1)|=|1-3a|=1-3a…(6分)
②若a>0,則f'(x)=3x2-3a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,且f(x)分別在處取得最大值和最小值.
因g(x)=|f(x)|在[-1,1]上是偶函數(shù),故只要求在[0,1]上的最大值
1°若a≥1時(shí),,函數(shù)g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,此時(shí)F(a)=g(1)=|1-3a|=3a-1…(8分)
2°若時(shí),,此時(shí)對(duì)?x∈[0,1]都有,
…(10分)
3°若時(shí),,函數(shù)g(x)在x=1處取得最大值,
∴F(a)=g(1)=|f(1)|=|1-3a|=1-3a…(12分)
綜上所述…(14分)
分析:(1)因?yàn)橹本x+y+m=0斜率為-1,所以?m∈R直線x+y+m=0都不是y=f(x)的切線等價(jià)于f'(x)=3x2-3a=-1在R上無實(shí)數(shù)解,由此可求a的取值范圍;
(2)f'(x)=3x2-3a,且f(x)為奇函數(shù),分類討論:①當(dāng)a≤0時(shí),可得g(x)=|f(x)|在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上遞增;②若a>0,f(x)分別在處取得最大值和最小值,因g(x)=|f(x)|在[-1,1]上是偶函數(shù),故只要求在[0,1]上的最大值,由此可得分段函數(shù)g(x)的最大值F(a)的解析式.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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