Question

已知函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|，若a≠b，f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是（　�。�

• A、（4

  2

  ，+∞）
• B、[4

  2

  ，+∞）
• C、（2

  2

  +3，+∞）
• D、[2

  2

  +3，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對(duì)值的函數(shù)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫(huà)出函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|的圖象，由f（a）=f（b）可得

1

a

+

1

b

=1．再由a+2b=（a+2b）（

1

a

+

1

b

）=1+

a

b

+

2b

a

+2，利用基本不等式求得a+2b的取值范圍．

解答： 解：先畫(huà)出函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|的圖象，如圖所示：∵a≠b且f（a）=f（b），
不妨設(shè)a＞b，則由題意可得lg（a-1）=-lg（b-1），
∴a-1=

1

b-1

，化簡(jiǎn)可得 a+b=ab，即

1

a

+

1

b

=1．
∴a+2b=（a+2b）（

1

a

+

1

b

）=1+

a

b

+

2b

a

+2≥3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

b 時(shí)，取等號(hào)成立．
故 a+2b的取值范圍是[3+2

2

，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)圖象分析解決問(wèn)題的能力，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．