Question

甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地以速度v（km/h）勻速行駛到乙地．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為a元，可變成本與速度v的平方成正比，比例系數(shù)為k．
（1）為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
（2）若規(guī)定汽車每小時(shí)的可變成本不多于每小時(shí)的運(yùn)輸成本的

1

5

，為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本為（a+kv²）元，全程行駛時(shí)間為

s

v

h，設(shè)出全程運(yùn)輸成本y，則由每小時(shí)的運(yùn)輸成本乘以運(yùn)輸時(shí)間得到運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)．然后利用基本不等式求最值；
（2）由汽車每小時(shí)的可變成本不多于每小時(shí)的運(yùn)輸成本的

1

5

求得速度范圍，對運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在速度范圍內(nèi)的最小值．

解答： 解：（1）汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本為（a+kv²）元，全程行駛時(shí)間為

s

v

h，設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元．
則y=(a+kv2)•

s

v

=s(kv+

a

v

)≥s•2

kv• a v

=2s

ak

，
當(dāng)且僅當(dāng)kv=

a

v

，即v=

a k

時(shí)等號成立．
∴為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以

a k

（km/h）的速度行駛；
（2）由題意得kv2≤

1

5

(a+kv2)，得v≤

1

2

a k

．
設(shè)f(v)=s(kv+

a

v

)，
則 f′(v)=s(k-

a

v2

)=s•

kv2-a

v2

≤s•

k• 1 4 a k -a

v2

＜0，
∴f（v）在(0，

1

2

a k

]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)v=

1

2

a k

時(shí)，f(v)min=s(k•

1

2

a k

+

a

1 2 a k

)=

5

2

s

ak

．
答：為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以

1

2

a k

（km/h）的速度行駛．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是正確建立數(shù)學(xué)模型，是中檔題．