Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足2f（x）+f（

1

x

）=（2x-

1

x

）lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

x+f(x)

xe2x

，h（x）=（2x²+x）g′（x），求證：?x∈（0，+∞），h（x）＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）令x=

1

x

，構(gòu)建關(guān)于f（x）與f(

1

x

)的方程組，可求得結(jié)果．利用導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)即能求得函數(shù)的最小值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最大值，就能證得結(jié)果．

解答：（1）解：令x=

1

x

，代入2f（x）+f（

1

x

）=（2x-

1

x

）lnx    ①
得，2f(

1

x

)+f(x)=(

2

x

-x)ln

1

x

       ②
聯(lián)立①②解得：f（x）=xlnx
f′(x)=lnx+x•

1

x

=lnx+1
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f^′（x）0，函數(shù)遞增．
∴當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)取到極小值，也是函數(shù)的最小值
故最小值為f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

（2）證明：由（1）得g(x)=

x+f(x)

xe2x

=

x+xlnx

xe2x

=

1+lnx

e2x

∴g′(x)=

1 x -2-2lnx

e2x

∴h（x）=（2x²+x）g^′（x）=(2x2+x)

1 x -2-2lnx

e2x

=

(2x+1)(1-2x-2xlnx)

e2x

令p（x）=1-2x-2xlnx
p′(x)=-2-2lnx-2x×

1

x

=-4-2lnx
當(dāng)x∈(0，

1

e2

)時(shí)，p^′（x）＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)x∈(

1

e2

，+∞)時(shí)，p^′（x）＜0，函數(shù)遞減．
故x=

1

e2

時(shí)，函數(shù)取到極大值，也是函數(shù)的最大值．
即p(x)max=p(

1

e2

)=1+

2

e2

，且1+

2

e2

＜

4

3

同理可求得

2x+1

e2x

＜1
故h(x)＜

2x+1

e2x

×

4

3

＜

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的求法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；解題中要熟悉復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)；對(duì)運(yùn)算的要求比較高．