Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，且數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足4S_n+1-3S_n=4，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，若不等式Tn+(

3

4

)n•

a

n

-16＜0對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用4S_n+1-3S_n=4，推出

an+1

an

是常數(shù)，然后已知

a2

a1

，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）利用錯位相減法求出數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，化簡不等式Tn+(

3

4

)n•

a

n

-16＜0，通過對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵已知4Sn+1-3Sn=4，n∈N*，∴n≥2時，4S_n-3S_n-1=4．
相減得4a_n+1-3a_n=0、又易知a_n≠0，∴

an+1

an

=

3

4

．             …（4分）
又由4Sn+1-3Sn=4，n∈N*得4（a₁+a₂）-3a₁=4，∴a2=

3

4

，∴

a2

a1

=

3

4

．
故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列． …（5分）
（2）由（1）知an=1×(

3

4

)n-1=(

3

4

)n-1．      …（6分）
∴Tn=1×(

3

4

)0+2×(

3

4

)1+…+n×(

3

4

)n-1，
∴

3

4

Tn=1×(

3

4

)1+2×(

3

4

)2+…+n×(

3

4

)n．
相減得

1

4

Tn=1+

3

4

+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-1-n×(

3

4

)n=

1-( 3 4 )n

1- 3 4

-n×(

3

4

)n，
∴Tn=16-16×(

3

4

)n-4n×(

3

4

)n，…（8分）
∴不等式Tn+(

3

4

)n×

a

n

-16＜0
為16-16×(

3

4

)n-4n×(

3

4

)n+(

3

4

)n×

a

n

-16＜0．
化簡得4n²+16n＞a．
設(shè)f（n）=4n²+16n，
∵n∈N^*∴f（n）_min=f（1）=20．
故所求實數(shù)a的取值范圍是（-∞，20）．              …（10分）

點評：本題考查等比數(shù)列的判斷，數(shù)列通項公式與前n項和的求法，恒成立問題的應(yīng)用，考查計算能力．