Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n＞0，前n項和為S_n，且S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n．

Answer 1

分析 分類討論，當(dāng)n≥2時，由S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，從而可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而求得．

解答 解：①當(dāng)n=1時，S₁=a₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+1）}{2}$，
解得，a₁=1；
②當(dāng)n≥2時，S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$，
故a_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$，
化簡可得，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
故a_n=n，
故答案為：a_n=n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用及作差法的應(yīng)用，屬于中檔題．