Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且2ccosA=2b-

3

a．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=2

3

，b=2，求sinA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（I）已知等式利用正弦定理化簡，整理后根據(jù)sinA不為0求出cosC的值，即可確定出角C的大小；
（Ⅱ）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把b，sinC以及已知面積代入求出a的值，利用余弦定理求出c的值，再利用正弦定理求出sinA的值即可．

解答： 解：（I）由2ccosA=2b-

3

a，利用正弦定理化簡得：2sinCcosA=2sinB-

3

sinA，
即2sinCcosA=2sin（A+C）-

3

sinA，
整理得：2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC-

3

sinA，即sinA（2cosC-

3

）=0，
∵sinA≠0，
∴2cosC-

3

=0，即cosC=

3

2

，
則C=

π

6

；
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×a×2×

1

2

=

1

2

a=2

3

，
∴a=4

3

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=48+4-2

3

×4

3

×2×

3

2

=28，
解得：c=2

7

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

asinC

c

=

4× 1 2

2 7

=

7

7

．

點(diǎn)評：出此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．