Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立.
（Ⅰ）函數(shù)f(x)=" x" 是否屬于集合M？說明理由；
（Ⅱ）設函數(shù)f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f(x)=a^x∈M；
（Ⅲ）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M ,求實數(shù)k的值.

Answer 1

（Ⅰ）f(x)= 
（Ⅱ）因為函數(shù)f(x)=a^x（a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，
所以方程組：有解，消去y得a^x=x,
顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使a^T="T."
于是對于f(x)=a^x有 
故f(x)=a^x∈M.  
（Ⅲ）實數(shù)k的取值范圍是{k|k= mπ, m∈Z}  

解析