Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-e^x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）解關(guān)于x的不等式：f（x）＞f′（x）；
（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=2ax-e^x，轉(zhuǎn)化不等式f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0．通過a與0的大小討論求出解集即可．
（2）設(shè)g（x）=f′（x），x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個根．通過當(dāng)a≤0，a＞0，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)有2個的條件，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=2ax-e^x，f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0．
當(dāng)a=0時，無解；
當(dāng)a＞0時，解集為{x|x＜0或x＞2}；
當(dāng)a＜0時，解集為{x|0＜x＜2}．
（2）設(shè)g（x）=f′（x）=2ax-e^x，則x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個根．g′（x）=2a-e^x，
當(dāng)a≤0時，g′（x）＜0恒成立，g（x）單調(diào)遞減，方程g（x）=0不可能有兩個根；
當(dāng)a＞0時，由g′（x）=0，得x=ln 2a，
當(dāng)x∈（-∞，ln2a）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（ln2a，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)g（x）_max＞0時，方程g（x）=0才有兩個根，
∴g（x）_max=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，
得a＞

e

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．