Question

如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2） ．

【解析】

試題分析：（1）取的中點，然后利用矩形及正三角形的性質可證明，，從而可證明結果；（2）可考慮分別以，為軸，軸，軸建立空間直線坐標系，通過求兩個平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點作，然后證明為所求二面角的一個平面角，再在中進行計算．

（1）證明：取的中點，連接，

∵為正三角形，∴．

又∵在四邊形中，

，∴,且，

∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴ ，

∴，∴．

（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，

所示的直角坐標系，并設，則，,

∴，，，，，

∴，,, ．

設平面，平面的法向量分別為，

則∴

∴分別取平面，平面的一個法向量，

∴，

∴二面角的余弦值為．

(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，

過點作，垂足為，連接，則，于是為所求二面角的一個平面角，

設，則，，，

∴∴二面角的余弦值為．

考點：1、空間直線與平面的垂直關系；2、空間向量的應用；3、二面角．