Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元 
(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

(1)函數(shù)及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c. (2) 為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應(yīng)為v=,　當>c時行駛速度應(yīng)為v=c.

(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a·+bv²·=S(+bv)
∴所求函數(shù)及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c.
(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)
∴S(+bv)≥2S                     ①
當且僅當=bv,即v=時，①式中等號成立  
　  
若≤c則當v=時，有y_min＝2S；
若>c,則當v∈(0,c時，有S(+bv)－S(+bc)
=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0,且c>bc²,　∴a－bcv≥a－bc²>0
∴S(+bv)≥S(+bc),當且僅當v=c時等號成立，
也即當v=c時，有y_min＝S(+bc)；
綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應(yīng)為v=,　當>c時行駛速度應(yīng)為v=c.
解法二: (1)同解法一.
(2)∵函數(shù)y=S(+bv),　v∈(0,+∞),
當x∈(0, )時，y單調(diào)減小，
當x∈(,+∞)時y單調(diào)增加，
當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v∈(0,c:
　  
∴當≤c時，則當v=時，y最小，若>c時，則當v=c時，y最小. 結(jié)論同上.