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【題目】已知函數 ，其導函數為.

（1）設，若函數在上有且只有一個零點，求的取值范圍；

（2）設，且，點是曲線上的一個定點，是否存在實數，使得成立？證明你的結論

【答案】（1）或（2）不存在實數，使得成立.

【解析】試題分析：（1）求得的解析式，令 ，可得，設，求得的導數和單調區(qū)間、極值；結合零點個數只有一個，即可得到的范圍；（2）假設存在實數，使得成立，求得的導數，化簡整理可得，考慮函數的圖象與的圖象關于直線對稱，上式可轉化為，設 ，上式即為，令，求出導數，判斷單調性即可判斷不存在.

試題解析：（1）當時， 由題意只有一解.

由得令則令得或

當時， 單調遞減， 的取值范圍為

當時， 單調遞增， 的取值范圍為

當時， 單調遞減， 的取值范圍為

由題意，得或，從而或，

所以，當或時，函數只有一個零點.

（2）

假設存在，則有

即

不妨設，則，兩邊同除，得

令

令

在上單調遞增

對恒成立，

在上單調遞增

又對恒成立，即（*）式不成立，

不存在實數，使得成立.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設 ，函數 ．
（1）若 ，求曲線 在點 處的切線方程；
（2）當a>2時，求函數 在 上的最小值．

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【題目】已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為4，離心率為 ．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線l過該橢圓的左焦點，交橢圓于M、N兩點，且 ，求直線l的方程．

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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，2an+1=an ， 若對于任意n∈N* ， 當t∈[﹣1，1]時，不等式x2+tx+1＞Sn恒成立，則實數x的取值范圍為 ．

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【題目】已知等差數列{an}中，a1=1，且a2+2，a3 ， a4﹣2成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若bn= ，求數列{bn}的前n項和Sn ．

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【題目】“微信運動”已成為當下熱門的運動方式，小王的微信朋友圈內也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數，并將數據整理如下：

步數

性別

0-2000

2001-5000

5001-8000

8001-10000

>10000

男

1

2

3

6

8

女

0

2

10

6

2

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

附：

（1）已知某人一天的走路步數超過8000步被系統評定為“積極型”，否則為“懈怠型”，根據題意完成下面的列聯表，并據此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？

積極型

懈怠型

總計

男

女

總計

（2）若小王以這40位好友該日走路步數的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數的概率分布，現從小王的所有微信好友中任選2人，其中每日走路不超過5000步的有人，超過10000步的有人，設，求的分布列及數學期望.

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【題目】如圖所示，扇形，圓心角的大小等于，半徑為2，在半徑上有一動點，過點作平行于的直線交弧于點.

（1）若是半徑的中點，求線段的大��；

（2）設，求面積的最大值及此時的值.

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【題目】已知f（x）= ，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，現給出如下結論：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正確結論的序號為（ ）
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列說法中正確的是（ ）
A.數據4、6、6、7、9、4的眾數是4
B.一組數據的標準差是這組數據的方差的平方
C.數據3，5，7，9的標準差是數據6、10、14、18的標準差的一半
D.頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻數

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