Question

2．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P在左支上，若$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|}}$的最小值為8a，求離心率的取值范圍（1，3]．

Answer 1

分析 由雙曲線定義得$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|}}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{1}|}$+4a+|PF₁|≥8a，由此利用基本不等式結(jié)合雙曲線的性質(zhì)能求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：由雙曲線定義知：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₂|=2a+|PF₁|，
$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|}}$=$\frac{（2a+|P{F}_{1}|）^{2}}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{1}|}$+4a+|PF₁|≥8a，
當(dāng)且僅當(dāng) $\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{1}|}$=|PF1|，
即|PF₁|=2a時(shí)取得等號(hào)
設(shè)P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半徑公式得：|PF₁|=-ex₀-a=2a
∴ex₀=-2a，e=-$\frac{3a}{{x}_{0}}$≤3，
又雙曲線的離心率e＞1，∴e∈（1，3]．
故答案為：（1，3]．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．