Question

16．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$，
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[1，2]時，若函數(shù)y=f（x）-m有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）容易看出x增大時f（x）增大，從而得出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)，從而便可得出f（x）的單調區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）便知函數(shù)f（x）在[1，2]上單調遞增，從而可求出f（x）在[1，2]上的值域，而根據(jù)題意知方程m=f（x）有解，從而便得出m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
x在（-∞，0），或（0，+∞）上增大時，$\frac{1}{x}$減小，$-\frac{1}{x}$增大，$x-\frac{1}{x}$增大；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)；
即f（x）的單調區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
（2）由（1）知f（x）在[1，2]上單調遞增；
∴f（x）在[1，2]上的值域為[f（1），f（2）]=[0，$\frac{3}{2}$]；
若函數(shù)y=f（x）-m有零點，則m=f（x）有解；
∴m的取值范圍為$[0，\frac{3}{2}]$．

點評 考查函數(shù)單調性的定義，根據(jù)單調性定義判斷函數(shù)單調性的方法，根據(jù)函數(shù)單調性定義求函數(shù)值域，以及函數(shù)零點的定義．