Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．可得1+d=q，2（1+2d）-q²=1，解出即可得出．
（II）當$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$時，c_n=a_nb_n=1，S_n=n．當$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$時，c_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q：∵a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．
∴1+d=q，2（1+2d）-q²=1，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=1，b_n=1；
或a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1．
（II）當$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$時，c_n=a_nb_n=1，S_n=n．
當$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$時，c_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，
3S_n=3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-1-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ+1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．