Question

已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC和CD的中點(diǎn)，求：
（1）A₁D與EF所成角的大�。�
（2）A₁F與平面B₁EB所成角；
（3）二面角C-D₁B₁-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)槭钦�方休，又是空間角問題，所以易采用向量法，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，（1）先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得相關(guān)向量，及其模
再用向量的夾角公式求解．
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)锳B⊥平面B₁C₁CB，所以是平面B₁EB的法向量，再用向量的夾角公式求解．
（3）先分別求得兩個半平面的一個法向量，然后利用向量的夾角公式求解二面角．
解答：解：不妨設(shè)正方體的棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），E（，1，0），F(xiàn)（0，，0）（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180831196965957/SYS201310241808311969659021_DA/7.png">，
所以


可知向量與的夾角為60°
因此A₁D與EF所成角的大小為60°
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)锳B⊥平面B₁C₁CB，所以是平面B₁EB的法向量
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180831196965957/SYS201310241808311969659021_DA/14.png">
所以，，
由，
所以可得向量之間的夾角約為：19.47°
（3）因?yàn)锳C₁⊥平面B₁D₁C，所以是平面B₁D₁C的法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180831196965957/SYS201310241808311969659021_DA/20.png">
所以，所以可得兩向量的夾角為35.26°
根據(jù)二面角夾角相等或互補(bǔ)可知，二面角約為：35.26°
點(diǎn)評：本題主要考查向量法在求空間角中的應(yīng)用，在研究空間角時，要首選向量法，方便靈活，是�？碱愋停瑢僦袡n題．