設(shè)數(shù)列的前項和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.
(1),;(2)當且僅當或時等號成立.
解析試題分析:(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項和通項,通常都是取特值和寫一個遞推式相減即可.(2)由(1)得到,分析第1,2項可得后要證的問題等價于本題是通過利用對稱項的關(guān)系來證明的,該對稱項是通過對的范圍的討論得到的. 通過累加后得到,然后不等式的兩邊同時加上即可得到答案.
試題解析:⑴ ………①,
當時代入①,得,解得;
由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,
故(對也滿足);
⑵當或時,顯然,等號成立.
設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:
即證:
當時,上面不等式的等號成立.
當時,與,()同為負;
當時, 與,()同為正;
因此當且時,總有 ()()>0,即
,().
上面不等式對從1到求和得,;
由此得 ;
綜上,當且時,有,當且僅當或時等號成立.
考點:1.數(shù)列的求和與通項的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.
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已知等差數(shù)列的首項,公差,且第項、第項、第項分別是等比數(shù)列的第項、第項、第項.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)若數(shù)列對任意,均有成立.
①求證:; ②求.
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已知數(shù)列前n項和=(), 數(shù)列為等比數(shù)列,首項=2,公比為q(q>0)且滿足,,為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)設(shè),記數(shù)列的前n項和為Tn,,求Tn。
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若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中,,點在函數(shù)的圖象上,其中為正整數(shù).
(Ⅰ)證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中“平方遞推數(shù)列”的前項積為,即,求;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記,求數(shù)列的前項和,并求使的的最小值.
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已知數(shù)列{an}滿足,,.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)是否存在互不相等的正整數(shù)、、,使、、成等差數(shù)列,且、、 成等比數(shù)列?如果存在,求出所有符合條件的、、;如果不存在,請說明理由.
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設(shè)遞增等差數(shù)列的前n項和為,已知,是和的等比中項.
(l)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
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已知為等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及其前項和;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.
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在數(shù)列中,().
(1)求的值;
(2)是否存在常數(shù),使得數(shù)列是一個等差數(shù)列?若存在,求的值及的通項公式;若不存在,請說明理由.
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