Question

（2009•錦州一模）幾何證明選講
等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)．
求證：AF⊥BE．

Answer 1

分析：以D為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C（1，0）、A（0，m）、B（-1，0），由DE⊥AC算出E點(diǎn)坐標(biāo)（

m2

1+m2

，

m

1+m2

），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得F（

m2

2(1+m2)

，

m

2(1+m2)

）．由此得出向量

BE

、

AF

的坐標(biāo)，從而算出它們的數(shù)量積關(guān)于m的式子，化簡可得

BE

•

AF

=0，即可得到BE⊥AF．

解答：解：由題意，以D為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖直角坐標(biāo)系：----（2分）
設(shè)C（1，0）、A（0，m），則B（-1，0）
設(shè)E（x，y），由DE⊥AC可得

x= m2 1+m2 y= m 1+m2

，
∴E（

m2

1+m2

，

m

1+m2

），F(xiàn)（

m2

2(1+m2)

，

m

2(1+m2)

）----（6分）
可得

BE

=（

m2

1+m2

+1，

m

1+m2

），-----------（6分）

AF

=（

m2

2(1+m2)

，

m

2(1+m2)

-m）--------------（8分）
∵

BE

•

AF

=（

m2

1+m2

+1）•

m2

2(1+m2)

+

m

1+m2

•（

m

2(1+m2)

-m）=0
∴

BE

⊥

AF

，即BE⊥AF---------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出等腰三角形ABC的底邊中點(diǎn)D在AC上的射影為E，且F為DE中點(diǎn)，求證BE⊥AF．著重考查了利用解析法證明平面幾何中的垂直關(guān)系和平面向量的數(shù)量積等知識(shí)，屬于中檔題．