Question

8．已知拋物線Γ：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F．若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線Γ相交于M，N兩點(diǎn)，又△MON的面積為${S_{△MON}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）若點(diǎn)P是拋物線Γ上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，與拋物線方程聯(lián)立方程組消去x，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算|y₁-y₂|，根據(jù)面積列方程求出p即可得出拋物線方程；
（2）設(shè)出B，C，P的坐標(biāo)，得出直線PB，PC的方程，利用切線的性質(zhì)得出三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入面積公式利用基本不等式即可得出面積的最小值．

解答 解：（1）由題意得$F（\frac{p}{2}，0）$，則過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線方程為$y=x-\frac{p}{2}$．
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去x得：y²-2py-p²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=2p，y₁y₂=-p²．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{2}$p，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$p²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又p＞0，故得p=1．
所以拋物線Γ的方程為y²=2x．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠0），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b＞c，
直線PB的方程為$y-b=\frac{{{y_0}-b}}{x_0}x$，化簡(jiǎn)得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圓心（1，0）到直線PB的距離為1，故$\frac{{|{{y_0}-b+{x_0}b}|}}{{\sqrt{{{（{y_0}-b）}^2}+{{（-{x_0}）}^2}}}}=1$，
即${（{y_0}-b）^2}+x_0^2={（{y_0}-b）^2}+2{x_0}b（{y_0}-b）+x_0^2{b^2}$，故$（{x_0}-2）{b^2}+2{y_0}b-{x_0}=0$，不難發(fā)現(xiàn)x₀＞2．
同理有$（{x_0}-2）{c^2}+2{y_0}c-{x_0}=0$，
∴b，c是關(guān)于t的一元二次方程$（{x_0}-2）{t^2}+2{y_0}t-{x_0}=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則$b+c=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-2}}，bc=\frac{{-{x_0}}}{{{x_0}-2}}$，
∴${（b-c）^2}={（b+c）^2}-4bc={（\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）^2}-4•\frac{{-{x_0}}}{{{x_0}-2}}=\frac{{4（x_0^2+y_0^2-2{x_0}）}}{{{{（{x_0}-2）}^2}}}$，
因?yàn)辄c(diǎn)P（x₀，y₀）是拋物線Γ上的點(diǎn)，所以$y_0^2=2{x_0}$，
則${（b-c）^2}=\frac{4x_0^2}{{{{（{x_0}-2）}^2}}}$，又x₀＞2，所以$b-c=\frac{{2{x_0}}}{{{x_0}-2}}$．
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}（b-c）{x_0}=\frac{x_0^2}{{{x_0}-2}}={x_0}-2+\frac{4}{{{x_0}-2}}+4≥2\sqrt{（{x_0}-2）•\frac{4}{{{x_0}-2}}}+4=8$，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)${y_0}=±2\sqrt{2}$．
△PBC的面積的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．