Question

求函數(shù)f（x）=-x²+2x-3在區(qū)間[2a-1，2]上的最小值的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對f（x）配方即可知道f（x）的對稱軸為x=1，且f（2）=f（0）=-3，所以討論2a-1和0的關(guān)系，可結(jié)合二次函數(shù)f（x）的圖象可求得f（x）的最小值，設(shè)最小值為g（a）=

-4a2+8a-6 a≤ 1 2 -3 1 2 ＜a＜ 3 2

，根據(jù)二次函數(shù)的最值及分段函數(shù)的最值即可求得g（a）的最大值．

解答： 解：f（x）=-（x-1）²-2；
f（2）=-3，f（0）=-3；
∴當(dāng)2a-1≤0即a≤

1

2

時(shí)，fmin(x)=f(2a-1)=-4a2+8a-6；
當(dāng)0＜2a-1＜2即

1

2

＜a＜

3

2

時(shí)，f_min（x）=f（2）=-3；
不妨記f（x）的最小值為g（a），則 g(a)=

-4a2 +8a-6    a≤ 1 2 -3           1 2 ＜a＜ 3 2

-4a²+8a-6=-4（a-1）²-2；
∴a≤

1

2

時(shí)，-4a²+8a-6單調(diào)遞增；
∴a≤

1

2

時(shí)，g（a）≤g(

1

2

)=-3；
∴g（a）的最大值為-3；
即f（x）在[2a-1，2]上的最小值的最大值為-3．

點(diǎn)評：考查配方法解決二次函數(shù)問題，知道如何討論2a-1是求解本題的關(guān)鍵，以及二次函數(shù)的最大值，分段函數(shù)的最大值．