如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=2，CA=CB=3，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=7，則
EF
與
BC
的夾角的余弦值等于
1
3
1
3
．
分析：由題意可得
BC
2=9=(
AC
- 
AB
)2，由此求得
AC
•
AB
=2，由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=7以及兩個向量的加減法的法則及其幾何意義可求得
EF
•
BC
=2，即2×3×cos＜
EF
，
BC
＞=2，由此求得
EF
與
BC
的夾角的余弦值．
解答：解：由題意可得
BC
2=9=(
AC
- 
AB
)2=
AC
2+
AB
2-2
AC
•
AB
=9+4-2
AC
•
AB
，∴
AC
•
AB
=2．
由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=7，可得
AB
•(
AB
+
BE
)+
AC
•(
AB
+
BF
)=
AB
2+
AB
•
BE
+
AC
•
AB
+
AC
•
BF
=4+
AB
•(-
BF
)+2+
AC
•
BF

=6+
BF
•(
AC
-
AB
)=6+
1
2
EF
•
BC
，
∴
EF
•
BC
=2，即 2×3×cos＜
EF
，
BC
＞=2，
∴cos＜
EF
，
BC
＞=
1
3
，
故答案為
1
3
．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義、以及運算性質，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•徐州模擬）如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，CA=CB=2，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，則
EF
與
BC
的夾角等于
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC和△DBE中，
AB
DB
=
BC
BE
=
AC
DE
=
5
3
，若△ABC與△DBE的周長之差為10cm，則△ABC的周長為（　　）
A、20cm
B、
25
4
cm
C、
50
3
cm
D、25cm

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直
徑的圓，DC的延長線與AB的延長線交于點E．
（Ⅰ）求證：DC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6
2
，求BC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學理 題型：填空題

如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，，若

，則與的夾角等于        ．

 

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