Question

已知（1+x）ⁿ的展開式中，第二、三、四項的系數成等差數列，則n等于（　　）

• A、7
• B、7或2
• C、6
• D、6或14

Answer 1

分析：由二項式定理，可得（1+x）ⁿ的展開式的第二、三、四項的系數，再結合題意，其展開式的第二、三、四項的系數成等差數列，可得
n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

；解可得答案．

解答：解：根據題意，（1+x）ⁿ的展開式為T_r+1=C_n^rx^r，
則第二、三、四項的系數分別為C_n¹、C_n²、C_n³，
即n、

n(n-1)

2

、

n(n-1)(n-2)

6

；
又由這三項的系數成等差數列，
即n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

；
解可得：n=7，n=0（舍）n=2（舍）；
故選A．

點評：本題考查二項式定理的運用，難點在于解關于n的方程n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

，注意化簡的技巧即可．