Question

3．已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，記作：y=f（t），下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：

t（時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1	0.5	0.99	1.5

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b（A＞0，ω＞0）
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式
（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于0.75米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，則一天內(nèi)的上午8：00至晚上24：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪愛(ài)好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）設(shè)函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0），由已知先求出函數(shù)的周期T，從而求出ω，進(jìn)而能求出φ，得到函數(shù)近似表達(dá)式．
（2）由題意cos$\frac{π}{6}$t＞$\frac{1}{2}$，從而12k-4＜t＜12k+4（k∈z），由此能求出一天內(nèi)的上午8：00至晚上24：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪愛(ài)好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）
∵同一周期內(nèi)，當(dāng)t=12時(shí)y_max=1.5，當(dāng)t=6時(shí)y_min=0.5，
∴函數(shù)的周期T=2（12-6）=12，得ω=$\frac{2π}{12}$=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{1}{2}$（1.5-0.5）=$\frac{1}{2}$，且k=$\frac{1}{2}$（1.5+0.5）=1
∴f（t）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{6}$t+φ）+1，
再將（6，0.5）代入，得0.5=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{6}$×6+φ）+1，解之得φ=$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)近似表達(dá)式為f（t）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{6}$t+$\frac{π}{2}$）+1，即y=$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{6}$t+1．
（2）由題意，可得$\frac{1}{2}$（cos$\frac{π}{6}$+1）＞0.75，即cos$\frac{π}{6}$t＞$\frac{1}{2}$，
解之得$\frac{2π}{3}+2kπ＜\frac{π}{6}t＜\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z．即12k-4＜t＜12k+4（k∈z），
∴在同一天內(nèi)取k=0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24
∴在規(guī)定時(shí)間上午8：00時(shí)至晚上24：00時(shí)之間，從8點(diǎn)到16點(diǎn)共8小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)及其在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．