Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函數(shù)圖象過（1，5）
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；
（3）若x²+4≥ax在（0，+∞）上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接把點(diǎn)（1，5）代入函數(shù)解析式求得m值；
（2）利用“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）把已知不等式變形，分離參數(shù)a，利用基本不等式求出最小值后得答案．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$的圖象過（1，5），得
5=1+m，即m=4；
（2）由（1）知，f（x）=$x+\frac{4}{x}$，
由“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性可知：
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
（3）由x²+4≥ax在（0，+∞）上恒成立，得
$a≤\frac{{x}^{2}+4}{x}=x+\frac{4}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
∵$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}=4$（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)“=”成立）．
∴a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了分離變量法，考查利用基本不等式求最值，是中檔題．