Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）解方程f（x）-4=0；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤a解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的各個(gè)范圍內(nèi)的不等式組，解出取并集即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a＜f（x）_min，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=|{2x+1}|+|{2x-3}|=\left\{\begin{array}{l}-4x+2（{x＜-\frac{1}{2}}）\\ 4（{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}）\\ 4x-2（{x＞\frac{3}{2}}）\end{array}\right.$
∴原方程等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x＜-\frac{1}{2}\\-4x+2-4=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}\\ 4-4=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{3}{2}\\ 4x-2-4=0\end{array}\right.$
解得：Φ或$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$或Φ
即方程f（x）-4=0的解為$\left\{{\left.x\right|-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$
（Ⅱ）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤a解集為空集，
∴a＜f（x）_min
又∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1|-|2x-3|=4
∴a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．