Question

已知函數(shù)f（x）=

3

lnx（x≥1），若將其圖象繞點(diǎn)（1，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（θ∈（0，

π

2

））角后，所得圖象仍是某函數(shù)的圖象，則當(dāng)角θ取最大值θ₀時(shí)，tanθ₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若函數(shù)f（x）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ后所得曲線仍是一函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義中的“唯一性”可得函數(shù)f（x）的圖象應(yīng)滿足：一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值y，因此，畫出函數(shù)的圖象，找切線的臨界位置．

解答： 解：畫出函數(shù)圖象，如圖：

易知函數(shù)圖象過A（1，0）
A（1，0）處的切線m轉(zhuǎn)動(dòng)到直線n的位置（也即和x軸垂直）時(shí)就是轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度，此后若再旋轉(zhuǎn)，圖象的一個(gè)x值將對(duì)應(yīng)2個(gè)y，那樣就不是函數(shù)的圖象了．因此只要求出初始位置時(shí)切線和終了位置時(shí)的切線的夾角θ即為轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度θ₀．
設(shè)切線m的傾斜角為α，∴tanα=f′（1），
∵f′（x）=

3

x

，∴tanα=f′（1）=

3

，∴α=

π

3

，∴θ=

π

6

，∴θ₀=

π

6

∴tan

π

6

=

3

3

故答案為：

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義，其中根據(jù)函數(shù)的定義分析出函數(shù)f（x）的圖象滿足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值y是解答本題的關(guān)鍵．