Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求證：；
（3）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：當n＞2時，有．

Answer 1

（1）解：∵
∴
∵
∴是以1為首項1為公差的等差數(shù)列
∴
∴；
（2）證明：
，，…，
設n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
則
又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2
從而m+1≤log₂n＜m+2
∴[log₂n]=m+1
所以
∴；
（3）證明：∵
∴
∴
∴當n＞2時，

…

累加得：-
由（2）結(jié)論有
∴

=
分析：（1）根據(jù)，取其倒數(shù)，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2），設n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1，則，又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2，從而m+1≤log₂n＜m+2，故可得證．
（3）兩邊平方，并整理可得：當n＞2時，．又，…，，累加得：-，利用（2）結(jié)論可得，所以，從而問題可證．
點評：本題以數(shù)列的遞推式為載體，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查累加法求和，同時考查新定義的理解，屬于中檔題