Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2sin²x+2，x∈R．
（ I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間以及對(duì)稱(chēng)中心；
（ II）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到的函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （ I）先化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間以及對(duì)稱(chēng)中心；
（ II）求出g（x），利用函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)m的最小值．

解答 解：（ I）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2sin²x+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1           …（2分）
∴令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z          …（4分）
又令$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，解得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，k∈Z$
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，1），k∈Z$…（6分）
（ II）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位，則得到的函數(shù)為$g（x）=2sin[2（x+m）+\frac{π}{6}]+1$
∴$g（x）=2sin（2x+2m+\frac{π}{6}）+1$…（8分）
又函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大或最小值
∴$2m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
∴$m=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈Z$…（10分）
又m＞0
∴實(shí)數(shù)m的最小值為$\frac{π}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于中檔題．