Question

如圖（1），在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE=BC，AE⊥BE，點M為CE上一點，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）若點N為線段AB的中點，求證：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）若BE=4，CE=4

2

，且二面角A-BC-E的大小為45°，如圖（2），試問棱DE上是否存在一點P，使得BP與平面ABE所成的角為30°？若存在，求PE的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BM⊥AE，AE⊥BE，可得AE⊥面BCE，從而可得AE⊥BC；
（2）取DE中點P，連接PM，AP，證明AMNP為平行四邊形，從而可證MN∥面ADE；
（3）證明∠ABE為二面角A-BC-E的平面角，設(shè)存在滿足題意的點P，作PQ⊥AE于Q，則∠PBQ是BP與平面ABE所成的角，利用BP與平面ABE所成的角為30°，即可求得結(jié)論．

解答： （1）證明：∵BM⊥面ACE，AE?面ACE，∴BM⊥AE
∵AE⊥BE，BM∩BE=B
∴AE⊥面BCE
∵BC?面BCE
∴AE⊥BC；
（2）解：取DE中點P，連接PM，AP
∵BC=BE，BM⊥AE
∴M為CE的中點
∴MP∥

1

2

DC∥AN
∴AMNP為平行四邊形
∴MN∥AP
∵M(jìn)N?面ADE，AP?面ADE
∴MN∥面ADE
（3）解：由BE=BC=4，CE=4

2

得BC⊥BE
∵BC⊥AE，AE∩BE=E
∴BC⊥面ABE
∴∠ABE為二面角A-BC-E的平面角．
∴∠ABE=45°
∴AE=BE=4．
設(shè)存在滿足題意的點P，作PQ⊥AE于Q，則∠PBQ是BP與平面ABE所成的角．

設(shè)QE=x，由于△ADE為等腰三角形，則[Q=x，PE=

2

x，
在直角△BQE中，BQ=

x2+16

，在直角△PQB中，tan30°=

x

x2+16

=

3

3

，
∴x=2

2

，故當(dāng)PE=4時，BP與平面ABE所成的角為30°．

點評：本題考查線面位置關(guān)系，考查線面平行，線面垂直，考查線線垂直，考查線面角，掌握線面平行，線面垂直的判定方法是關(guān)鍵．