Question

甲乙兩地相距300千米，一汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過a千米/小時，已知該汽車每小時的運輸成本P（元）關(guān)于速度v（千米/小時）的函數(shù)關(guān)系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v．
（1）試將全程運輸成本Q（元）表示為速度v的函數(shù)；
（2）為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多少速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)每小時的運輸成本P關(guān)于v的解析式，則全程運輸成本只需要求出全程用的時間即可，根據(jù)時間=

路程

速度

，求出時間，從而求得全程運輸成本Q（元）表示為速度v的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）所求的解析式，求出Q的導(dǎo)數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定極小值即最小值，從而得到答案．

解答：解：（1）∵時間=

路程

速度

，
∴全程用的時間t=

300

v

小時，
∵該汽車每小時的運輸成本P（元）關(guān)于速度v（千米/小時）的函數(shù)關(guān)系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v，
∴全程運輸成本Q=P•t=（

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v）•

300

v

=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a，
∴全程運輸成本Q（元）表示為速度v的函數(shù)為Q=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a；
（2）由（1）可知，運輸成本Q=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a，
∴Q′=(

3

19200

v2-

2

160

v)•300=

3v(v-80)

64

，
令Q′=0，解得v=0（舍去）或v=80，
當(dāng)0＜v＜80時，Q′＜0，當(dāng)v＞80時，Q′＞0，
①當(dāng)a≥80時，Q在（0，80）上單調(diào)遞減，在（80，a）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)v=80時，Q取得極小值即最小值Q（80）=500；
②當(dāng)a＜80時，Q在（0，a]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)v=a時，Q取得最小值Q（a）=

a3

64

-

15a2

8

+4500．
綜合①②可得，當(dāng)a≥80時，為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以80千米/小時行駛，此時運輸成本的最小值為500元，
當(dāng)a＜80時，為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以a千米/小時行駛，此時運輸成本的最小值為

a3

64

-

15a2

8

+4500元．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值問題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立數(shù)學(xué)模型后，應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出跟對應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．