Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n=1-2S_n．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}x，{b_n}=f（{a_1}）+f（{a_2}）+…+f（{a_n}）$，求T_n=$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n=1-2S_n．可得a₁=1-2a₁，解得a₁．n≥2時，a_n-1=1-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n．即可證明．
（2）a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．f（a_n）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}$=n．可得b_n，$\frac{1}{_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n=1-2S_n．∴a₁=1-2a₁，解得a₁=$\frac{1}{3}$．
n≥2時，a_n-1=1-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n．∴${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$．
（2）解：a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
f（a_n）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}$=n．
∴b_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考査了等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和法”、對數(shù)的運算性質(zhì)，、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．