Question

2．如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B、P在單位圓上，且B（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），∠AOB=α．
（1）求$\frac{5cosα+6sinα}{4cosα-3sinα}$的值；
（2）設(shè)∠AOP=θ（$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{2π}{3}$），$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，四邊形OAQP的面積為S，f（θ）=（$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$-$\frac{1}{2}$）²+2S²-$\frac{1}{2}$，求f（θ）的最值及此時(shí)θ的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得tanα=-2，將$\frac{5cosα+6sinα}{4cosα-3sinα}$中的“弦”化“切”即可求得其值；
（2）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得f（θ）=（cosθ+$\frac{1}{2}$）²+2sin²θ-$\frac{1}{2}$=-（cosθ-$\frac{1}{2}$）²+2，利用-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得f（θ）的最值及此時(shí)θ的值．

解答 解：（1）依題意，tanα═-2，
∴$\frac{5cosα+6sinα}{4cosα-3sinα}$=$\frac{5+6tanα}{4-3tanα}$=-$\frac{7}{10}$；
（2）由已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（cosθ，sinθ），
又$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，|$\overrightarrow{OA}$=||$\overrightarrow{OP}$|，
∴四邊形OAQP為菱形，
∴S=2S_△OAP=sinθ，
∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{OQ}$=（1+cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$=1+cosθ，
∴f（θ）=（cosθ+$\frac{1}{2}$）²+2sin²θ-$\frac{1}{2}$=-（cosθ-$\frac{1}{2}$）²+2
∵-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴當(dāng)cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（θ）_max=2；
當(dāng)cosθ=-$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f（θ）_min=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．