Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對一切n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上．
（1）求a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)An為數(shù)列{

1

(an-1)(an+1)

}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式A_n＜a對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分別計(jì)算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)循環(huán)；分別計(jì)算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，提出同（3）類似的問題（（3）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

Answer 1

（1）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上，
∴S_n=n²+n．
a₁=S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n（n=1時(shí)也成立）．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）An=

1

(a1-1)(a1+1)

+

1

(a2-1)(a2+1)

+…+

1

(an-1)(an+1)

=

1

1•3

+

1

3•5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
依題意，只要a≥

1

2

即可，故a的取值范圍是[

1

2

，+∞)．
（3）數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有2個括號，故b₁₀₀是第50組中第2個括號內(nèi)各數(shù)之和．
由分組規(guī)律知，b₂，b₄，b₆，…，b₁₀₀，…組成一個首項(xiàng)b₂=4+6=10，公差d=12
的等差數(shù)列． 
所以b₁₀₀=10+（50-1）×12=598．
（4）當(dāng)n是4的整數(shù)倍時(shí)，求b_n的值．
數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4組，第8組，…，第4k（k∈N^*）組的第1個數(shù)，第2個 數(shù)，…，第4個數(shù)分別組成一個等差數(shù)列，
其首項(xiàng)分別為14，16，18，20．公差均為20． 
則第4組，第8組，…，第4k組的各數(shù)之和也組成一個等差數(shù)列，
其公差為80．  
且b₄=14+16+18+20=68．
當(dāng)n=4k時(shí)，b_n=68+80（k-1）=20n-12．