Question

函數(shù)f（x）定義在區(qū)間[a，b]上，設(shè)“min{f（x）|x∈D}”表示函數(shù)f（x）在集合D上的最小值，“max{f（x）|x∈D}”表示函數(shù)f（x）在集合D上的最大值．現(xiàn)設(shè)f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），
若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間[a，b]上的“第k類壓縮函數(shù)”．
（Ⅰ） 若函數(shù)f（x）=x³-3x²，x∈[0，3]，求f（x）的最大值，寫出f₁（x），f₂（x）的解析式；
（Ⅱ） 若m＞0，函數(shù)f（x）=x³-mx²是[0，m]上的“第3類壓縮函數(shù)”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍即為遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍即為遞減區(qū)間，利用f₁（x），f₂（x）的定義，求出它們的解析式．
（II）求出函數(shù)f（x）=x³-mx²的導(dǎo)函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷出其單調(diào)性，得到f₁（x），f₂（x）的解析式，根據(jù)“第3類壓縮函數(shù)”的定義列出不等式，求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=3x²-6x＞0得2＜x＜3；f'（x）=3x²-6x＜0得0＜x＜2
故f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增．
所以，f（x）的最大值為max{f（0），f（3）}=0．…（3分）
f1(x)=

x3-3x2，0≤x≤2 -4          2＜x≤3

，…（6分）
f₂（x）=0，…（9分）
（Ⅱ）由于f'（x）=3x²-2mx，
故f（x）在[0，

2m

3

]上單調(diào)遞減，在[

2m

3

，m]上單調(diào)遞增，
而f（0）=f（m）=0，f(

2m

3

)=-

4m3

27

，
故f1(x)=

x3-mx2，0≤x≤ 2m 3 - 4m3 27      2m 3 ＜x≤3

，f₂（x）=0，
f2(x)-f1(x)=

mx2-x3，0≤x≤ 2m 3 4m3 27        2m 3 ＜x≤3

．…（11分）
設(shè)對正整數(shù)k有f₂（x）-f₁（x）≤kx對x∈[0，m]恒成立，
當(dāng)x=0時，k∈N^*均成立；
當(dāng)0＜x≤

2m

3

時，k≥

f2(x)-f1(x)

x

恒成立，
而

f2(x)-f1(x)

x

=-x2+mx=-(x-

m

2

)2+

m2

4

≤

m2

4

，
故k≥

m2

4

；
當(dāng)

2m

3

＜x≤m時，k≥

f2(x)-f1(x)

x

恒成立，
而

f2(x)-f1(x)

x

=

4m3 27

x

=

4m3

27x

＜

2m2

9

；
故k≥

2m2

9

；
所以，k≥

m2

4

，
又f（x）是[0，m]上的“第3類壓縮函數(shù)”，
故2＜

m2

4

≤3，
所以，2

2

＜m≤2

3

．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學(xué)生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．