Question

給出下列四個(gè)命題：
（1）已知函數(shù)f（x）=

1 2 x2   x≤2 log2(x+a)  x＞2

在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=

1

an

，則數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)之和為1．
（2）過點(diǎn)P（3，3）與曲線（x-2）²-

(y-1)2

4

=1有唯一公共點(diǎn)的直線有且只有兩條．
（3）向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，t)，若函數(shù)f（x）=

a

•

b

在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個(gè)．
其中正確的命題有

（1）（2）（4）

（填序號(hào)）

Answer 1

分析：（1）先求出a的值，再計(jì)算數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)之和；
（2）分別考慮所求直線的情況有①直線的斜率不存在②與漸近線平行，即可得到結(jié)論；
（3）計(jì)算出數(shù)量積，再分離參數(shù)求最值，即可得到結(jié)論；
（4）先算出集合{2，4，6，8，10}的真子集有：φ，{2}，{4}，{6}，{8}，{10}，{2，4}，…，{4，6，8，10}．再計(jì)算它們的真子集個(gè)數(shù)即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1 2 x2   x≤2 log2(x+a)  x＞2

在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，∴

1

2

×22=log2(2+a)，∴a=2
∴a_n=

1

2n

，∴數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)之和為

1 2

1- 1 2

=1，即（1）正確；
（2）曲線的右頂點(diǎn)為（3，1），故直線x=3與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)P （3，3）平行于漸近線時(shí)，直線L與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，有2條，所以，過P（3，3）的直線L與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線共有3條，即（2）不正確；
（3）f（x）=

a

•

b

=-x³+x²+tx+t，∴f′（x）=-3x²+2x+t
∵函數(shù)f（x）=

a

•

b

在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，∴-3x²+2x+t≥0在區(qū)間[-1，1]上恒成立
∴t≥3x²-2x在區(qū)間[-1，1]上恒成立，∴t≥3+2=5，∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[5，+∞），即（3）不正確；
（4）集合{2，4，6，8，10}的真子集為∅，{2}，{4}，{6}，{8}，{10}，{2，4}，…，{4，6，8，10}．它們的真子集個(gè)數(shù)共26個(gè)，故正確．
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查子集與真子集、等比數(shù)列的性質(zhì)、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．