Question

5．已知函數(shù)f（x）=5sinx•cosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5}{2}$${\sqrt{3}$（x∈R）．求f（x）的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間、圖象的對(duì)稱軸．

Answer 1

分析 利用輔助角公式降冪，由周期公式求得周期；再由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求得原函數(shù)的增區(qū)間，由相位的終邊落在y軸上求得原函數(shù)的對(duì)稱軸方程．

解答 解：f（x）=5sinx•cosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5}{2}$${\sqrt{3}$=$\frac{5}{2}sin2x$$-5\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$$+\frac{5}{2}\sqrt{3}$
=$\frac{5}{2}sin2x-\frac{5}{2}\sqrt{3}cos2x$=5sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z．
∴單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
由$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
∴對(duì)稱軸為$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．