Question

已知橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為6＋4．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x＝ky＋m與橢圓M交手A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）時(shí)，取得最大值為.

(1)由題意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c進(jìn)而確定橢圓方程.
（2）以AB為直徑的圓過右頂點(diǎn)C，實(shí)質(zhì)是,然后用坐標(biāo)表示出來，再通過直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和判斷式把△ABC面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，然后利用函數(shù)的方法求最值.
（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為，∴， 又橢圓的離心率為，即，所以，
∴，.  ………… 3分∴，橢圓的方程為.……4分
（Ⅱ）由直線的方程.聯(lián)立 消去得，………… 5分     
設(shè)，，則有，. ① ……… 6分
因?yàn)橐?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823221928119396.png" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓過點(diǎn)，所以 .由 ，得 .…………… 7分
將代入上式，得 .
將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ……… 8分
所以,記直線與軸交點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以
設(shè)，則.
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為