Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在x=±1處的切線斜率均為-1，給出以下結(jié)論：
①f（x）的解析式為f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；
③f（x）的最大值與最小值之和等于0．
其中正確的結(jié)論有

1. A.
   0個(gè)
2. B.
   1個(gè)
3. C.
   2個(gè)
4. D.
   3個(gè)

Answer 1

C
分析：首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f（x）過(guò)原點(diǎn)，列方程組求出f（x）的解析式；則命題①可得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點(diǎn)，進(jìn)而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值，則命題②③得出判斷．
解答：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過(guò)原點(diǎn)，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，
則有 ，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可見(jiàn)f（x）=x³-4x，因此①正確；
②令f′（x）=0，得x=±．因此②不正確；
所以f（x）在[-，]內(nèi)遞減，
且f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（）=-，兩端點(diǎn)處f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=-，則M+m=0，因此③正確．
所以正確的結(jié)論為①③，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，最大值與最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．