已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意a∈R,有f(a)+f(-a)=0且 f(-3)=2.
(1)試判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(2)對(duì)?x,x1,x2∈[-3,0)∪(0,3]都有kx2-4x+k+4≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解:(1)∵f(a)+f(-a)=0且 f(-3)=2.
∴f(3)=-2
∵-3<3,2>-2,函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),
∴函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù);
(2)∵x1,x2∈[-3,0)∪(0,3],函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù);
∴函數(shù)f(x)在定義域上的最大值為2,最小值為-2,
要使?x∈R,x1,x2∈[-3,0)∪(0,3]都有kx2-4x+k+4≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,
則?x∈R,kx2-4x+k+4≥|2-(-2)|恒成立
即?x∈R,kx2-4x+k≥0恒成立
當(dāng)k=0時(shí),-4x≥0不恒成立
當(dāng)k≠0時(shí),,即,∴k≥2
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為[2,+∞)
分析:(1)由于函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),利用兩個(gè)特殊點(diǎn)的函數(shù)值,即可確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)先確定函數(shù)f(x)在定義域上的最大值為2,最小值為-2,要使?x∈R,x1,x2∈[-3,0)∪(0,3]都有kx2-4x+k+4≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,則?x∈R,kx2-4x+k+4≥|2-(-2)|恒成立,再進(jìn)行分類(lèi)討論即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性,考查恒成立問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的最值,將?x∈R,x1,x2∈[-3,0)∪(0,3]都有kx2-4x+k+4≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,轉(zhuǎn)化為?x∈R,kx2-4x+k≥0恒成立
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(-∞,-1)∪(2,+∞)
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(1)證明:f(x)=f(|x|)
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)是單調(diào)函數(shù),求滿(mǎn)足f(x)=f(
x+3x+4
)
的所有x之和.

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