Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線交于、兩點(diǎn).

（1）求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)、的參數(shù)分別為、，利用韋達(dá)定理求出線段中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，代入直線的參數(shù)方程可求得點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）利用弦長(zhǎng)公式求得，求出圓心到直線的距離，由此可求得圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程可化為，化為直角坐標(biāo)方程得，

將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得：，化簡(jiǎn)得，

設(shè)、的參數(shù)分別為、，由韋達(dá)定理得：，于是.

設(shè)，則，

故點(diǎn)的直角坐標(biāo)為；

（2）由（1）知：，，

所以，，

又直線的普通方程為，圓心到直線的距離為，圓的半徑.

所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

因此，面積的最大值為：.