Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知圓${C_1}：{（x+3）^2}+{（y-1）^2}=4$和圓${C_2}：{（x-4）^2}+{（y-5）^2}=4$．
（1）若直線l過點A（-1，0），且與圓C₁相切，求直線l的方程；
（2）設P為直線$x=-\frac{3}{2}$上的點，滿足：過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等．試求滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）分類討論，設方程，利用直線l₁過點A（2，0），且與圓C₁相切，建立方程求出斜率，即可求出直線l₁的方程；
（2）設點P坐標為$（-\frac{3}{2}，n）$，直線l₁、l₂的方程分別為：$y-n=k（x+\frac{3}{2}）（k≠0），y-n=-\frac{1}{k}（x+\frac{3}{2}）$，
即$kx-y+n+\frac{3}{2}k=0，x+ky-kn+\frac{3}{2}=0$，利用直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等，可得$\frac{{|-3k-1+n+\frac{3}{2}k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|4+5k-kn+\frac{3}{2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，化簡利用關于k的方程有無窮多解，即可得出結論．

解答 解：（1）設直線l的方程為：y=k（x+1），即kx-y+k=0…（1分）
圓心C₁到直線l的距離d=2，…（2分）
結合點到直線距離公式，得$\frac{|-3k-1+k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，…（3分）
求得$k=\frac{3}{4}$…（4分）
由于直線x=-1與圓C₁相切．…（5分）
所以直線l的方程為：x=-1或$y=\frac{3}{4}（x+1）$，即x=-1或3x-4y+3=0…（6分）
（2）設點P坐標為$（-\frac{3}{2}，n）$，直線l₁、l₂的方程分別為：$y-n=k（x+\frac{3}{2}）（k≠0），y-n=-\frac{1}{k}（x+\frac{3}{2}）$，
即$kx-y+n+\frac{3}{2}k=0，x+ky-kn+\frac{3}{2}=0$…（7分）
因為直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，兩圓半徑相等，
所以圓心C₁到直線l₁與圓心C₂直線l₂的距離相等．
故有$\frac{{|-3k-1+n+\frac{3}{2}k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|4+5k-kn+\frac{3}{2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，…（9分）
化簡得$（\frac{7}{2}-n）k=-\frac{9}{2}-n，或（\frac{13}{2}-n）k=\frac{13}{2}-n$…（11分）
關于k的方程有無窮多解，有$n=\frac{13}{2}$
所以點P坐標為$（-\frac{3}{2}，\frac{13}{2}）$，經(jīng)檢驗點$（-\frac{3}{2}，\frac{13}{2}）$滿足題目條件．…（12分）

點評 本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，對稱的知識，注意方程無數(shù)解的條件，考查轉化思想，函數(shù)與方程的思想，�？碱}型．