Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并求當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，f（x）的最大值及最小值；
（3）解關(guān)于x的不等式

1

2

f（bx²）-f（x）＞

1

2

f（b²x）-f（b）．（b²≠2）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，求出f（0）=0，再令y=-x，由奇偶性的定義，即可判斷；
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．由已知得f（x₂-x₁）＜0，再由奇函數(shù)的定義和已知，即可判斷單調(diào)性，由f（1）=-2，得到f（-3）=6，f（3）=-6，再由單調(diào)性即可得到最值；
（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為f（bx²-2x）＞f（b²x-2b），再由單調(diào)性，即得bx²-（b²+2）x+2b＜0，即（bx-2）（x-b）＜0，
再對(duì)b討論，分b=0，b＞0①0＜b＜

2

時(shí)，②當(dāng)b＞

2

時(shí)，b＜0①當(dāng)-

2

＜b＜0時(shí)，②當(dāng)b＜-

2

時(shí)，分別求出它們的解集．

解答： 解：（1）令x=y=0，則f（0）=2f（0），即有f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．則f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．由已知得f（x₂-x₁）＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．∴f（x）在R上是減函數(shù)．
由于f（1）=-2，則f（2）=2f（1）=-4，f（3）=f（1）+f（2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
由f（x）在R上是減函數(shù)，得到當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，
f（x）的最大值為f（-3）=6，最小值為f（3）=-6；
（3）不等式

1

2

f（bx²）-f（x）＞

1

2

f（b²x）-f（b），即為f（bx²）-2f（x）＞f（b²x）-2f（b）．
即f（bx²）-f（2x）＞f（b²x）-f（2b），即有f（bx²-2x）＞f（b²x-2b），
由于f（x）在R上是減函數(shù)，則bx²-2x＜b²x-2b，即為bx²-（b²+2）x+2b＜0，
即有（bx-2）（x-b）＜0，
當(dāng)b=0時(shí)，得解集為{x|x＞0}；
當(dāng)b＞0時(shí)，即有（x-b）（x-

2

b

）＜0，①0＜b＜

2

時(shí)，

2

b

＞b，此時(shí)解集為{x|b＜x＜

2

b

}，
②當(dāng)b＞

2

時(shí)，

2

b

＜b，此時(shí)解集為{x|

2

b

＜x＜b}，
當(dāng)b＜0時(shí)，即有（x-b）（x-

2

b

）＞0，
①當(dāng)-

2

＜b＜0時(shí)，

2

b

＜b，此時(shí)解集為{x|x＜

2

b

或x＞b}，
②當(dāng)b＜-

2

時(shí)，

2

b

＞b，此時(shí)解集為{x|x＞

2

b

或x＜b}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：求最值和解不等式，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于綜合題．