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已知函數f（x）的導函數為f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x2）＜0，則實數x的取值范圍為（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．
【答案】分析：先根據f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0判斷f（x）在（-1，1）上單調遞增，進而根據函數的導函數求得函數f（x）的解析式，判斷出函數f（x）為奇函數，進而根據f（1-x）+f（1-x2）＜0，建立不等式組，求得x的范圍．
解答：解：∵f′（x）=2+cosx＞0，f（0）=0
∴f（x）在（-1，1）上單調遞增
∵f（x）=2x+sinx，從而得f（x）是奇函數；
所以f（1-x）＜-f（1-x2）=f（x2-1）即有解得
故選B．
點評：函數、導數、不等式的綜合問題是代數中常見的問題，綜合性強，主要考查推理能力．
練習冊系列答案
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4、已知函數f（x）的導函數f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a處取到極大值，則a的取值范圍是（　　）

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14、已知函數f（x）的導函數f′（x）=2x-5，且f（0）的值為整數，當x∈（n，n+1]（n∈N*）時，f（x）的值為整數的個數有且只有1個，則n=
2
．

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18、已知函數f（x）的導數f″（x）滿足0＜f′（x）＜1，常數a為方程f（x）=x的實數根．
（Ⅰ）若函數f（x）的定義域為M，對任意[a，b]⊆M，存在x0∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f″（x0）成立，求證：方程f（x）=x存在唯一的實數根a；
（Ⅱ） 求證：當x＞a時，總有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）對任意x1、x2，若滿足|x1-a|＜2，|x2-a|＜2，求證：|f（x1）-f（x2）|＜4．

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