Question

已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4及經(jīng)過點(diǎn)P（3，-1）的直線l．
（1）當(dāng)l平分⊙C時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)l與⊙C相切時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓C的方程找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，由直線l平分圓C，得到直線l過圓心，故由P和C的坐標(biāo)確定出直線l的方程即可；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然x=3滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，由直線l過P，寫出直線l的點(diǎn)斜式方程，由直線l與圓C相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，進(jìn)而確定出此時(shí)直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

解答：解：（1）∵⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圓心C的坐標(biāo)為（1，2），半徑r=2，
當(dāng)l平分⊙C時(shí)，必有直線l過圓心（1，2），又直線l過P（3，-1），
則直線l的方程為y-2=-

3

2

(x-1)，即3x+2y+7=0；…（5分）
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
其方程為x=3，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；…（8分）
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0，
∵直線l與圓C相切，
∴圓心（1，2）到直線kx-y-3k-1=0的距離為圓的半徑2，
即

|-2k-3|

1+k2

=2，解得：k=-

5

12

，
此時(shí)直線l的方程為y+1=-

5

12

（x-3），即5x+12y-3=0，
綜上，當(dāng)l與⊙C相切時(shí)，直線l的方程為x=3或5x+12y-3=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的對(duì)稱性，直線的點(diǎn)斜式方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題第二問的關(guān)鍵．