Question

11．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為$\sqrt{3}$，動點P在對角線BD₁上，過點P作垂直于BD₁的平面α，記平面α截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y=f（x），設(shè)BP=x，x∈（0，3），關(guān)于函數(shù)y=f（x）：
（Ⅰ）下列說法中，正確的是②③
①當x∈（1，2）時，截面多邊形為正六邊形；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于$x=\frac{3}{2}$對稱；
③任取x₁，x₂∈[1，2]時，f（x₁）=f（x₂）．
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）單調(diào)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間（2，3）．

Answer 1

分析 （I）①x=$\frac{3}{2}$時，截面為△AB₁C，其余截面多邊形為正六邊形，故①不正確；
②根據(jù)正方體的對稱性，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于$x=\frac{3}{2}$對稱，正確；
③任取x₁，x₂∈[1，2]時，根據(jù)面面平行，可得三角形相似，即可得出當α在平面AB₁C，面A₁DC₁之間運動時，y不變，正確；
（II）由截面圖形，可得單調(diào)遞增區(qū)間（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間（2，3）．

解答 解：（I）①x=$\frac{3}{2}$時，截面為△AB₁C，其余截面多邊形為正六邊形，故①不正確；
②根據(jù)正方體的對稱性，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于$x=\frac{3}{2}$對稱，正確；
③任取x₁，x₂∈[1，2]時，根據(jù)面面平行，可得三角形相似，即可得出當α在平面AB₁C，面A₁DC₁之間運動時，y不變，正確；
（II）由截面圖形，可得單調(diào)遞增區(qū)間（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間（2，3）．
故答案為②③；對單遞增區(qū)間（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間（2，3）．

點評 本題考查了空間幾何體的應(yīng)用問題，也考查了作圖和讀圖的能力，解題時應(yīng)根據(jù)幾何體的特征和條件進行分析變化情況，是難題．