Question

6．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，準線為l．⊙F與C交于A，B兩點，與x軸的負半軸交于點P．
（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦長為$2\sqrt{5}$，求|AB|；
（Ⅱ）判斷直線PA與C的交點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦長為$2\sqrt{5}$，求出圓的半徑，得到圓的方程，即可求|AB|；
（Ⅱ）求出P的坐標，即可判斷直線PA與C的交點個數(shù)，

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
∵⊙F被l所截得的弦長為$2\sqrt{5}$，
∴圓的半徑為$\sqrt{5+4}$=3，
∴⊙F的方程為（x-1）²+y²=9，
與y²=4x聯(lián)立可得A（2，2$\sqrt{2}$），B（2，-2$\sqrt{2}$），∴|AB|=4$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）（x-1）²+y²=9，令y=0，可得P（4，0），
∵A（2，2$\sqrt{2}$），∴直線PA與C的交點個數(shù)為2．

點評 本題考查圓的方程，考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．