Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若f（x）≥m+$\frac{4}{m}$-k對(duì)任意的m∈[3，5]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$f{（x）_{min}}≥m+\frac{4}{m}-k$對(duì)?m∈[3，5]恒成立，即$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$對(duì)?m∈[3，5]恒成立，令$g（m）=m+\frac{4}{m}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=1+1nx，
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{e}$；令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{e}$，
故當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e}）$時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
故當(dāng)$x=\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）取得極小值，
且$f{（x）_{極小值}}=f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}1n\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$，無(wú)極大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，
要使$f（x）≥m+\frac{4}{m}-k$對(duì)?m∈[3，5]恒成立，
只需$f{（x）_{min}}≥m+\frac{4}{m}-k$對(duì)?m∈[3，5]恒成立，
即$-\frac{1}{e}≥m+\frac{4}{m}-k$，即$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$對(duì)?m∈[3，5]恒成立，
令$g（m）=m+\frac{4}{m}$，則$g'（m）=1-\frac{4}{m^2}=\frac{{{m^2}-4}}{m^2}$，
故m∈[3，5]時(shí)g'（m）＞0，所以g（m）在[3，5]上單調(diào)遞增，
故$g{（m）_{max}}=g（5）=5+\frac{4}{5}=\frac{29}{5}$，
要使$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$對(duì)?m∈[3，5]恒成立，
只需$k-\frac{1}{e}≥g{（m）_{max}}$，
所以$k≥\frac{29}{5}+\frac{1}{e}$，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[\frac{29}{5}+\frac{1}{e}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．