Question

如圖，已知平面PAB⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AD：AB=3：2，△PAB為等邊三角形，F(xiàn)是線段BC上的點(diǎn)且滿足CF=2BF．
（1）證明：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求直線DF與平面PAD的所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO，由已知得PO⊥平面ABCD，從而AD⊥PO，又AD⊥AB，由此能證明平面PAD⊥平面PAB．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DF與平面PAD的所成角的余弦值．

解答： （1）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO，
∵平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為等邊三角形，
∴PO⊥AB，∴PO⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PO，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵AB∩PO=O，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=3，AB=2，則BF=1，CF=2，
D（-1，3，0），F(xiàn)（1，1，0），P（0，0，

3

），A（-1，0，0），

DF

=（2，-2，0），

AP

=（1，0，

3

），

AD

=（0，3，0），
設(shè)平面PAD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AP =x+ 3 z=0 n • AD =3y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，0，-1），
設(shè)直線DF與平面PAD的所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DF

，

n

＞|=|

2 3

8 ×2

|=

6

4

，
∴cosθ=

1-( 6 4 )2

=

10

4

．
∴直線DF與平面PAD的所成角的余弦值為

10

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．