Question

7．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2-|x-1|有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＜2時，函數(shù)f（x）的最小值為3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由絕對值的幾何意義知$|x-\frac{a}{2}|+|{x-1}|≥|\frac{a}{2}-1|$，由不等式f（x）≤2-|x-1|有解，可得$|\frac{a}{2}-1|≤1$，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＜2時，（x）在$（-∞，\frac{a}{2}）$單調(diào)遞減，在$[\frac{a}{2}，+∞）$單調(diào)遞增，利用函數(shù)f（x）的最小值為3，求實數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）由題f（x）≤2-|x-1|，即為$|x-\frac{a}{2}|+|{x-1}|≤1$．
而由絕對值的幾何意義知$|x-\frac{a}{2}|+|{x-1}|≥|\frac{a}{2}-1|$，-------（2分）
由不等式f（x）≤2-|x-1|有解，∴$|\frac{a}{2}-1|≤1$，即0≤a≤4．∴實數(shù)a的取值范圍[0，4]．-------（5分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=|2x-a|+|x-1|的零點(diǎn)為$\frac{a}{2}$和1，當(dāng)a＜2時知$\frac{a}{2}＜1$，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x+a+1（x＜\frac{a}{2}）}\\{x-a+1（\frac{a}{2}≤x≤1）}\\{3x-a-1\;\;\;\;\;（x＞1）}\end{array}}\right.$-------（7分）
如圖可知f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}）$單調(diào)遞減，在$[\frac{a}{2}，+∞）$單調(diào)遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{2}）=-\frac{a}{2}+1=3$，得a=-4＜2（合題意），即a=-4．-------（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最小值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．